梯度下降的几种方法和原理

什么是梯度下降法?

在第二篇文章中有介绍到梯度下降法的做法,传送门:机器学习入门系列02,Regression 回归:案例研究

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中,需要解决下面的最优化问题:

$$\theta^= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1$$

  • $L$ :lossfunction(损失函数)
  • $\theta$ : parameters(参数)

这里的parameters是复数,即 $\theta$ 指代一堆参数,比如上篇说到的 $w$ 和 $b$ 。

我们要找一组参数 $\theta$ ,让损失函数越小越好,这个问题可以用梯度下降法解决:

假设 $\theta$ 有里面有两个参数 $\theta_1, \theta_2$
随机选取初始值

$$ \theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \\ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2 $$

这里可能某个平台不支持矩阵输入,看下图就好。

然后分别计算初始点处,两个参数对 $L$ 的偏微分,然后 $\theta^0$ 减掉 $\eta$ 乘上偏微分的值,得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法,$\triangledown L(\theta)$ 即为梯度。

$\eta$ 叫做Learning rates(学习速率)

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1:调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

举例:

上图左边黑色为损失函数的曲线,假设从左边最高点开始,如果学习率调整的刚刚好,比如红色的线,就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小,比如蓝色的线,就会走的太慢,虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点,实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大,比如绿色的线,就会在上面震荡,走不下去,永远无法到达最低点。还有可能非常大,比如黄色的线,直接就飞出去了,更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察,但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行,更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案,将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小(蓝色的线),损失函数下降的非常慢;学习率太大(绿色的线),损失函数下降很快,但马上就卡住不下降了;学习率特别大(黄色的线),损失函数就飞出去了;红色的就是差不多刚好,可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想:随着次数的增加,通过一些因子来减少学习率

  • 通常刚开始,初始点会距离最低点比较远,所以使用大一点的学习率
  • update好几次参数之后呢,比较靠近最低点了,此时减少学习率
  • 比如 $\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}$,$t$ 是次数。随着次数的增加,$\eta^t$ 减小

学习率不能是一个值通用所有特征,不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

Adagrad 是什么?

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释:

普通的梯度下降为:

$$w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t \tag3$$
$$\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4$$

  • $w$ 是一个参数

Adagrad 可以做的更好:
$$w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t \tag5$$
$$g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6$$

  • $\sigma^t$ :之前参数的所有微分的均方根,对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简:

Adagrad 存在的矛盾?

在 Adagrad 中,当梯度越大的时候,步伐应该越大,但下面分母又导致当梯度越大的时候,步伐会越小。

下图是一个直观的解释:

下面给一个正式的解释:

比如初始点在 $x_0$,最低点为 $−\frac{b}{2a}$,最佳的步伐就是 $x0$ 到最低点之间的距离 $\left | x_0+\frac{b}{2a} \right |$,也可以写成 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$。而刚好 $|2ax_0+b|$ 就是方程绝对值在 $x_0$ 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大,则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比,它可能是比较好的。

结论1-1:梯度越大,就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数,颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 $w_1$,就像图中蓝色的线,得到右边上图结果;如果只考虑参数 $w_2$,就像图中绿色的线,得到右边下图的结果。确实对于 $a$ 和 $b$,结论1-1是成立的,同理 $c$ 和 $b$ 也成立。但是如果对比$a$ 和 $c$,就不成立了,$c$ 比 $a$ 大,但 $c$ 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下,才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$,还有个分母 $2a$ 。对function进行二次微分刚好可以得到:
$$\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7$$
所以最好的步伐应该是:
$$\frac{一次微分}{二次微分}$$
即不止和一次微分成正比,还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分:

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 $\sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2}$ 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。(如果计算二次微分,在实际情况中可能会增加很多的时间消耗)

Tip2:随机梯度下降法

之前的梯度下降:

$$L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag8$$
$$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9$$

而随机梯度下降法更快:

损失函数不需要处理训练集所有的数据,选取一个例子 $x^n$

$$L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag{10}$$
$$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) \tag{11}$$

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理,只需要计算某一个例子的损失函数Ln,就可以赶紧update 梯度。

对比:

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子,但随机算法此时已经走了二十步(每处理一个例子就更新)

Tip3:特征缩放

比如有个函数:

$$y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}$$
两个输入的分布的范围很不一样,建议把他们的范围缩放,使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做?

上图左边是 $x_1$ 的scale比 $x_2$ 要小很多,所以当 $w_1$ 和 $w_2$ 做同样的变化时,$w_1$ 对 $y$ 的变化影响是比较小的,$x_2$ 对 $y$ 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface(现在考虑左边蓝色),因为 $w_1$ 对 $y$ 的变化影响比较小,所以 $w_1$ 对损失函数的影响比较小,$w_1$ 对损失函数有比较小的微分,所以 $w_1$ 方向上是比较平滑的。同理 $x_2$ 对 $y$ 的影响比较大,所以 $x_2$ 对损失函数的影响比较大,所以在 $x_2$ 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近,右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况,上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的,两个方向上需要不同的学习率,同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的,而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心(最低点)走,这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放?

方法非常多,这里举例一种常见的做法:

上图每一列都是一个例子,里面都有一组特征。

对每一个维度 $i$(绿色框)都计算平均数,记做 $m_i$;还要计算标准差,记做 $\sigma _i$。

然后用第 $r$ 个例子中的第 $i$ 个输入,减掉平均数 $m_i$,然后除以标准差 $\sigma _i$,得到的结果是所有的维数都是 $0$,所有的方差都是 $1$

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题:

$$\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ max}} L(\theta) \tag1$$

每次更新参数 $\theta$,都得到一个新的 $\theta$,它都使得损失函数更小。即:

$$L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta^2)>···\tag{13}$$

上述结论正确吗?

结论是不正确的。。。

数学理论

比如在 $\theta^0$ 处,可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 $\theta^1$,不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值?

泰勒展开式

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 $h(x)$ 在 $x=x_0$ 点的某个领域内有无限阶导数(即无限可微分,infinitely differentiable),那么在此领域内有:

$$ \begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \\ & =h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)+\frac{h''(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned} $$

当 $x$ 很接近 $x_0$ 时,有 $h(x)≈h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)$
式14 就是函数 $h(x)$ 在 $x=x_0$ 点附近关于 $x$ 的幂函数展开式,也叫泰勒展开式。

举例:

图中3条蓝色线是把前3项作图,橙色线是 $sin(x)$。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式,在 $(a,b)$ 点的红色圆圈范围内,可以将损失函数用泰勒展开式进行简化:

将问题进而简化为下图:

不考虑s的话,可以看出剩下的部分就是两个向量$(\triangle \theta_1,\triangle \theta_2)$ 和 $(u,v)$ 的内积,那怎样让它最小,就是和向量 $(u,v)$ 方向相反的向量

然后将u和v带入。


$$L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14}$$

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提,泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的,而这需要红色的圈圈足够小(也就是学习率足够小)来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话,即保证式1-2 成立的话,就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中,当更新参数的时候,如果学习率没有设好,是有可能式1-2是不成立的,所以导致做梯度下降的时候,损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项,如果考虑到二次项(比如牛顿法),在实际中不是特别好,会涉及到二次微分等,多很多的运算,性价比不好。

梯度下降的限制

容易陷入局部极值
还有可能卡在不是极值,但微分值是0的地方
还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了,但这里只是比较平缓,并不是极值点

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Last modification:2020 年 01 月 18 日 16 : 12 PM
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